式中：U為電磁流量計感應電勢輸出，w為權重函數，v為局部流速分布，B為磁感應強度分布，S為流道內流體占據的截面積。
權重函數w含義為，磁場分布不同時，流體流過磁場時在管道截面上流體微元切割磁力線時產生的感應電勢對總感應電勢貢獻大小不同。由式（1）可知，當權重函數w及流速剖面v為非軸對稱分布時，流量測量會產生較大誤差。
首先采用ANSYS有限元分析軟件對電磁流量計測量區域內磁場分布特點進行考察。
在二維平面場（X-Y平面）中，矢量磁勢A和電流密度J相互平行且只有z方向分量，即：Ax=Ay=0，Az=A；Jx=Jy=0，Jz=J。模型中介質為線性介質，磁導率μ為常數。由麥克斯韋方程導出的分矢量泊松方程為
模型有兩種邊界條件：①Dirichlet條件（AZ約束），即磁通量平行于模型邊界；②Neumann條件（自然邊界條件），即磁通量垂直于模型邊界。第2種條件為默認的邊界條件。對于電磁流量計在管道中的模型，只須滿足自然邊界條件，故施加電流密度后可進行磁場計算。
設定水的相對磁導率μr=1，由于聚合物溶液磁導率小于水的磁導率[7]，在模擬計算時，假定聚合物溶液相對磁導率μr=0.5，如圖1所示。從圖1可以看出：聚合物溶液產生的磁通線稀疏，而水中磁通線密度則較大，其磁場強度也越大。由式（1）可知，磁場強度越大，其電磁流量計靈敏度越高。由于儀器結構尺寸非常對稱，儀器位于管道中心，通電后4個線圈相當于交替放置的N極與S極，故產生的磁場也是對稱分布的。流體從儀器與油管環形空間流過，切割磁力線產生感生電勢，通過4個對稱分布的電極即可進行流量測量。
2 電磁流量計在聚合物溶液及清水管流中動態實驗
外流式四電極電磁流量計在聚合物溶液中的動態實驗是在大慶油田測試技術服務分公司多相流流動環路中進行的，實驗目的是為了認識電磁流量計在清水及聚合物溶液中響應特性。使用模擬井內徑為125mm，井筒高度為13m，內襯有長為6m、內徑為62mm的油管，實驗時用扶正器使儀器居中。實驗用聚合物溶液為相對分子質量為（3～8）×106的聚丙烯酰胺，配制不同質量分數、密度約為1.0g/cm3聚合物。在清水中標定的流量范圍為0～200m3/d，在聚合物溶液中標定的流量范圍為0～150m3/d。聚合物溶液黏度與聚合物質量分數實驗關系可通過化驗分析獲得。
圖2為井下四電極電磁流量計及測量響應曲線圖。從實驗結果可以看出，在清水中的測量響應線在相同流量時總是高于聚合物響應線，尤其是流量增大時差異更明顯。此外，當聚合物溶液黏度變化時，每支儀器對黏度變化的響應值差別很小，表明電磁流量計受流體黏度的影響不顯著。
3 四電極電磁流量計響應數值模擬
3.1 計算測量場域內流速分布的標準κ-ε模型
在標準κ-ε模型中[8]，κ和ε為兩個基本未知量，與之相對應的輸運方程為
式中：ui表示時均速度；Gk為由于平均速度梯度引起的湍動能k的產生項；Gb為由于浮力引起的湍動能k的產生項；Ym代表可壓湍流中脈動擴張的貢獻；μ為因分子黏性而引入的流體動力黏度；μt為湍動黏度（空間坐標函數，取決于流動狀態）；C1ε，C2ε和C3ε為經驗常數；σk和σε分別為與湍動能k和耗散率ε對應的Prandtl數；Sk和Sε為用戶定義的源項。
在此模型中，根據Launder等推薦值，模型常數取值分別為：C1ε=1.44；C2ε=1.92；C3ε=1；σk=1.0；σε=1.3。
3.2 油管與儀器環形空間流速分布
仿真模型油管管徑為62mm，油管長度設定為2000mm，儀器直徑為35mm。為了在儀器使用過程中測量電極不受損壞，測量處專門設計成凹槽形狀。所以測量處儀器直徑為33.8mm，儀器長度為1200mm，儀器測量電極段長度為44.5mm。計算儀器與油管環形空間流場計算時單元網格剖分數為（10～60）×104。由于油管長度較長且與管徑比例相差太大，無法完整顯示網格，這里忽略變化很小的部分，僅取儀器頂部、儀器測量段及儀器尾部網格，合并后的整體網格剖分情況如圖3所示。若設定聚合物質量分數變化范圍為0.05%～0.2%，則計算出的測量電極處流速分布呈中心對稱，隨著黏度的增大，流速分布中心流速也隨之增大。清水流速剖面分布比聚合物流速剖面分布平坦些，其中心流速比聚合物小，而環形空間兩側存在比聚合物流速大的區域。盡管聚合物中心流速比清水要大，但是清水在中心區域外的兩邊流速要比對應的聚合物流速要大。
3.3 四電極電磁流量計響應數值模擬
四電極電磁流量計權重函數可認為兩電極權重函數的疊加。兩電極權重函數的表達式為[3]
則四電極權重函數可以表示為
式中：a為歸一化的管子半徑；x與y分別為測量場域內平面直角坐標位置變量。
根據前面采用有限元分析方法計算的磁場強度分布，結合測量場域內流速剖面分布及權重函數分布，zui后由式（1）就可以計算出四電極電磁流量計響應輸出，如圖4所示。
由圖4可以看出：假設清水磁導率與聚合物不同，清水中電磁流量計響應大于聚合物中的響應；盡管聚合物黏度變化，但在相同聚合物流量時，電磁流量計響應輸出結果差別不很明顯，說明聚合物在軸對稱流速分布時，黏度變化對流量測量影響不大。以上數值模擬結果也與圖2所示的在清水與聚合物溶液中實驗測量結果相吻合，較好地解釋了在清水與聚合物溶液中電磁流量計響應差異的原因，并對聚合物黏度變化對流量測量影響不大給出了理論計算依據。
